La Trigo de la Navigation Astro


Dans tout mon cours, j'ai évité au maximum d'entrer dans les détails techniques, en particulier les maths.
En effet, je pense que beaucoup de ces détails sont inutiles, au moins dans un premier temps, pour comprendre les principes de base. Au contraire, ils les compliquent beaucoup et effraient les néophytes.
C'est dire que le chapitre qui suit n' a pas besoin d'être abordé par les débutants mais qu'il pourra cependant vous être utile après votre période d'apprentissage, pour encore mieux comprendre et approfondir les notions que vous aurez découvertes.

1 - Notions générales de trigonométrie sphérique :

Soit une sphère dont le centre est O.
Soient 3 points A, B et C non alignés, à la surface de cette sphère .
On trace les 3 arcs de Grands Cercles1 joignant ces 3 points A, B, C.
On obtient ainsi un triangle dont les côtés sont courbes, puisque tracés sur une sphère. On nommera chacun de ces côtés : a, b et c ; a étant le côté opposé au sommet A, b opposé à B et c opposé à C.

(1) : Un Grand Cercle est un cercle tracé à la surface d'une sphère et dont le centre est confondu avec celui de la sphère.
On peut enfin tracer les droites reliant chacun de ces sommets A, B et C au centre O de la sphère.
On définit ainsi 3 nouveaux angles :
l'angle BOC qui sous-tend le côté a, et que nous appellerons α (alpha);
l'angle AOC qui sous-tend le côté b, et que nous appellerons β (béta);
l'angle AOB qui sous-tend le côté c, et que nous appellerons γ (gamma).

En trigonométrie sphérique, la longueur d'un côté du triangle tracé à la surface de la sphère (triangle ABC) peut être exprimée selon la valeur de l'angle au centre O qui le sous-tend. Ainsi, on pourra dire que la longueur du coté a est la valeur de l'angle α, celle du côté b est β, et celle du côté c est γ.

On pourra ainsi parler de sinus A pour le sinus de l'angle A du triangle ABC, ou de cosinus de son côté b qui est en fait le cosinus de l'angle β.

Le mathématicien François Viète a déterminé en 1593 la relation fondamentale du triangle sphérique qui permet, connaissant 3 de ses éléments, d'en calculer un quatrième .
Par exemple si l'on connait la longueur des 2 côtés b et c et l'angle A entre eux, on peut calculer la longueur du côté a :
a = arccos (cos b x cos c + sin b x sin c x cos A) (équation 1)

Cette équation peut aussi être écrite d'une autre façon, permettant ainsi de calculer par exemple la valeur de l'angle C, lorsque les longueurs des 3 côtés a, b et c sont connues :
C = arccos ((cos c – cos a x cos b) / (sin a x sin b)) (équation 2)

De plus, on sait que le sinus d'un angle est égal au cosinus de son complémentaire. Par exemple 70° et 20° sont complémentaires (car 70° + 20° = 90°), donc sinus 70° = cosinus 20° = 0.939... ou encore : sinus 70° = cosinus (90°– 70°) = 0.939...(équation 3)

Enfin, on sait aussi que les cosinus de 2 angles dont la somme est 360° sont égaux. Par exemple : cosinus 30° = cosinus 330° = 0.866..., parceque 30° + 330° = 360° (équation 4)
François Viète
(1540 - 1603)


2 - Comment utiliser ces notions générales en navigation Astro ?

Dans le cas de la navigation astro, la sphère est évidemment la Terre considérée comme une sphère parfaite (même si ce n'est pas exactement le cas...). Le triangle sphérique est alors appelé "Triangle de position" :
Dans ce triangle de position, les 3 sommets sont :
1 - le pôle Nord N (correspondant par exemple au sommet A)
2 - le point Pg (Position géographique de l'astre, connue en Latitude D (déclinaison) et en Longitude AH (Angle Horaire)) (sommet B)
3 - le point Pc (Point de calcul, ou position estimée de l'observateur, aussi connue en Latitude L et en Longitude G) (sommet C)

Les 3 éléments connus sont :
1- la longueur du côté b : c'est le complément de la Latitude L (b = 90°– L, aussi appelée "colatitude")
2 - la longueur du côté c : c'est le complément de la déclinaison D (c = 90°– D, aussi appelée "codéclinaison" ou "co-déclinaison")
Notez ici que si la Latitude ou la déclinaison sont Sud, on leur donne le signe –. Dans ce cas la longueur du côté b devient 90°– (-L), soit 90° + L ; et celle du côté c devient 90° – (-D), soit 90°+ D. On voit bien que la longueur obtenue, supérieure à 90° correspond bien à la longueur entre le pôle N et les point Pc ou Pg, situés alors au-delà de l'équateur, dans l'hémisphère Sud.
Notez aussi que le mille marin correspondant à une minute d'angle au centre (ici, les angles α, β et γ), la relation entre chaque angle au centre et la longueur du côté qu'il sous-tend est encore plus évidente.
3 - l'angle au sommet N : c'est l'Angle Horaire Local (AHL = AH ± G (+ si G Est, – si G Ouest)), angle entre le méridien de l'observateur (côté b) et celui de l'astre (côté c), toujours dans cet ordre et sur 360° vers l'ouest (sens horaire).

Les 2 éléments inconnus (et que l'on souhaite connaitre) sont :
1 - la longueur du côté a, distance entre Pc et Pg : c'est l'orthodromie entre Pc et Pg, autrement dit la distance zénithale calculée Dzc permettant de connaitre l'intercept ;
2 - la valeur de l'angle Z , qui est la direction de Pg par rapport au Nord en Pc, permettant de connaitre l'azimut.

1 - La hauteur calculée, complément de la distance zénithale calculée :

La longueur du côté a est la Distance zénithale calculée Dzc et pourrait donc se calculer ainsi (en appliquant l'équation 1) :
Dzc = arccos (cos (90°-L) x cos (90°-D) + sin (90°-L) x sin (90°-D) x cos AHL)

Mais, en appliquant l'équation 3, on peut simplifier cette formule en écrivant :
Dzc = arccos (sin L x sin D + cos L x cos D x cos AHL)

enfin, ce n'est pas vraiment la Distance zénithale calculée qui nous intéresse, mais plutôt son complémentaire, la Hauteur calculée Hc (Hc = 90° – Dzc). Toujours en appliquant l'équation 3, on peut donc encore réécrire cette formule en :
Hc = arcsin (sin L x sin D + cos L x cos D x cos AHL)

Et on retrouve ici la première formule de la Navigation astro (telle qu'elle apparaît dans cette page)

Notez que l'angle AHL peut tout aussi bien être l'angle intérieur que l'angle extérieur (cas du schéma 1 ci-dessus) du triangle, puisque la somme de ces 2 angles faisant toujours 360°, leurs cosinus sont égaux (cf. équation 4)

2 - L'azimut :

Puisque la longueur du côté a vient d'être calculée (elle est de 90°–Hc), on connaît désormais la longueur des 3 côtés du triangle.
On peut donc maintenant appliquer l'équation 2 pour calculer la valeur de l'angle Z (angle au sommet Pc) :
Z = arcos ((cos (90°-D) – cos (90°- L) x cos (90°- Hc)) / (sin (90°- L) x sin (90°- Hc))

Mais on peut aussi simplifier cette formule, toujours en appliquant l'équation 3, en écrivant :
Z = arcos ((sin D - sin L x sin Hc) / (cos L x cos  Hc))

qui est la seconde formule de la Navigation astro (telle qu'elle apparait dans cette même page)

Bien sûr, il s'agit de l'angle intérieur du triangle de position. Cela nous convient uniquement lorsque le point Pg est à l'Est du point Pc. En effet, dans ce cas l'angle Z correspond bien à la direction de Pg par rapport au Nord, en Pc, et Z est bien l'azimut recherché.
Mais lorsque l'astre est à l'Ouest de la position du bateau (point Pg à l'Ouest de Pc, schéma 2), alors l'angle intérieur Z ne convient plus car il ne permet pas de tracer un azimut comme nous en avons l'habitude : par rapport au Nord et dans le sens des aiguilles d'une montre.
Dans ce cas, c'est l'angle extérieur du triangle qu'il nous faut. C'est pourquoi il faut alors calculer 360°–Z, pour obtenir la valeur traçable de l'azimut.

Pour le soleil c'est facile, le schéma 1 correspond à une observation du matin, avant midi local, et le schéma 2 à une observation de l'après midi local.

Pour les autres astres pour lesquelles les notions de "matin" et d"'après midi" sont moins évidentes, on se réfère à la valeur de l'Angle Horaire Local.
Comme on le sait maintenant, c'est l'angle entre notre méridien (côté b) et le méridien de l'astre (coté c), toujours dans cet ordre, vers l'Ouest et sur 360°.
On voit qu'il vaut entre 0° et 180° lorsque Pg est à l'Ouest de Pc (schéma 2), puis entre 180° et 360° lorsqu'il est à l'Est de Pg (schéma 1).

Vous comprenez ainsi pourquoi les 3 clés permettant de résoudre le triangle sphérique sont toujours la Latitude du point de calcul (=la latitude estimée de l'observateur), la Déclinaison de l'astre, et l'Angle Horaire Local (angle entre le méridien de l'observateur et celui de l'astre). Et cela quelle que soit la méthode que vous utiliserez pour simplifier ces calculs (calculatrice, HO249, Dieumegard et Bataille...).

Si vous souhaitez aller plus loin et approfondir ces notions, allez sur ce site.

Et n'oubliez pas : si vous avez des questions à me poser, je suis à votre diposition : navastro at free.fr

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